Richard Gilder Graduate School, Upper West Side - Neste vídeo vamos ver o que é o derivado, vamos começar com um breve introdução histórica e depois vamos dar a definição matematicamente, juntamente com a ajuda de alguns gráficos para dar a aparência graficamente o que o derivado nós ajudar a resolver. Para entender o que é a derivada primeiro devemos entender o que que é uma linha secante e uma linha tangente Quando a uma circunferência cortar uma linha reta em mais de um ponto, neste caso, nestes dois pontos, Dizem que esta linha é uma linha secante. Em geral, para qualquer figura que vemos que uma linha corta em vários pontos Será um secante direto. Um direto tangente é uma linha que passa por apenas um ponto. Tangente significa "toque". A linha reta nada mais "tocar" o gráfico em um ponto, não chega a cortar em dois. Isso é uma tangente. Os antigos gregos Como Euclides e Apolônio de Perga, eles sabiam como traçar tangentes a uma grande variedade de figuras A linha tangente para um circunferência é o mais fácil de rastreamento Realmente a única coisa que é feita é desenhar uma linha perpendicular a um raio da circunferência, e com isso vamos ter uma tangente em qualquer apontar Mas o problema fica complicado pouco mais quando se trata de parábolas ou de elipses ou hipérboles. Porém Esses problemas eu já sabia resolver Apolônio na antiguidade. Mas por exemplo, se quiséssemos obter a linha tangente a qualquer ponto deste gráfico, que parece muito mais complicado, ou este, ou até mesmo um gráfico polinomial da 5ª série, os problemas são muito mais complicado fazer com o métodos que os gregos tinham. O Grego as coisas que eles fizeram eles fizeram usando apenas regra e bússola. Eles não tinham álgebra, não tinham geometria analítico, eles não tinham os eixos coordenados, eles simplesmente usaram, por colocá-lo de alguma forma, varas e cordas Foi tudo o que eles poderiam usar e com isso eles conseguiram desenhar tangentes ao figuras que eu te disse antes. René Discards foi o inventor, como sabemos, da geometria analítica. Ele introduziu os dois eixos coordenados, que é chamado de plano cartesiano, em seu honra, e com isso muitos dos problemas da Grécia antiga, eles foram simplificados o suficiente quando se usa álgebra para nos limitar a regra e a bússola. No entanto, o problema de plotagem tangentes a uma grande variedade de figuras, Eu continuei fazendo algo muito complexo e algo que ainda não poderia ser resolvido em seu tempo. Um grande matemático chamado Fermat conseguiu resolver parcialmente o problema em parábolas, por exemplo, mas mesmo com gráficos como os que mostrei agora, que são muito complicados o problema ainda era algo muito complexo para fazer o problema foi finalmente resolvido por Newton e depois por Leibniz Apresentando precisamente o que é o derivado O derivado em poucas palavras nos ajuda a encontrar a reta tangente a qualquer gráfico, em um ponto dado, é isso que a derivada é. Mas para entendê-lo matematicamente vamos começar desenhando um gráfico de alguma função, e bem, é isso que nós faremos a seguir. Começamos com o gráfico de alguns função, qualquer função. Uma função f (x) Este seria o gráfico. Neste gráfico, vamos apontar alguns ponto, vamos dizer este ponto. Este ponto Tem uma coordenada x que é o que você vê lá. E também tem uma certa coordenada "e". Para encontrar a coordenada "y", o que o que fazemos é substituir em nossa função. Para entender melhor essa ideia vamos considerar o gráfico do quadrado x função. f (x) igual ao quadrado x, aqueles que já a conhecem sabem que é um parábola que se abre para cima e suponha que queremos encontrar o coordene "y", quando x é para 2. Se x é 2, podemos ver aqui no gráfico que "e" vale 4. Mas se não tivéssemos o gráfico, como faríamos para saber isso. O que fazemos é substituir o x = 2 em nossa função inicial, isto é, em vez de escrever x vamos escreva um 2 e aqui também no lugar para escrever um x nós escrevemos um 2. Então a operação é levantar dois ao quadrado, o que nos dá 4 e vemos que isso é assim qualquer coordenada. Se quisermos encontrar, por exemplo, quanto custa coordene "y" em x = 3, nós fazemos a mesma coisa que substituímos o 3, 3 para quadrado nós temos nove, nós podemos ver aqui no gráfico que em 3 efetivamente vale 9 e assim por qualquer outra coordenada, coordenadas negativo etc. O mesmo é o que vamos fazer na outra função, para entender o que é a derivada. Nada mais que não estamos usando os números explicitamente, mas estamos usando letras. Em vez de colocar 2,45 nós estamos colocando x, e ao invés de colocar o 6 que seria a coordenada "y", vamos apenas colocar f (x) que será seu valor ao substituir o x. Vamos continuar então com nosso gráfico Então a coordenada "y" será f (x), que está aqui. Nós marcamos mais tarde, para um certo distância h, logo à frente, Este "h" é apenas para representar que será um pouco mais tarde. Nós vamos marcar outro ponto, este ponto aqui, como está à frente do x alguns distância h, sua coordenada x será x + h é simplesmente a esta coordenada x ter adicionado um certo número, não importa ter adicionado 1, a 0,5, a 0,1, qualquer distância que a distância nós estamos representando com h. Como antes para encontrar o coordene "y", teremos que substituir o valor da coordenada x em nossa função, isto é, para a coordenada "e" vamos ter f (x + h), porque nós simplesmente substituímos o "x + h" aqui dentro, em vez do x colocamos x + h Lá nós temos os pontos cujas coordenadas são (x, f (x)) e (x + h, f (x + h)) Nós através de dois pontos podemos desenhar uma linha reta podemos até achar sua equação, a equação de uma linha reta que atravessa os pontos é muito fácil encontre, se eles não sabem ou não se lembram como faz Eu recomendo que antes de continuar assistindo o vídeo, assista ao outro vídeo que Vou colocar o link na descrição, para que entender bem este ponto por causa de outro maneira que eles não serão muito claros. Eles precisam lembrar como obter o equação de uma linha que passa por dois pontos. Bem, vamos desenhar essa linha, isso seria a linha que passa por esses dois pontos, Vou remover os rótulos agora mesmo não confundir. Lá nós temos uma linha que passa por dois pontos, para nós encontrarmos equação de uma linha que passa por dois pontos, basicamente o que precisamos, o mais importante é a sua inclinação, lembre-se que o inclinação de uma linha é a medida de a inclinação da linha e do inclinação de uma linha é representada com o meu é encontrado por esta fórmula: y2-y1 dividido por x2-x1. x2, x1, y2, y1 são as coordenadas de cada ponto a partir deste ponto x2 seria o coordenar "x" e y2 seria a coordenada "y" E a partir deste ponto seria x1 e y1. Então nós substituímos neste fórmula recebendo isso. Aqui abaixo temos x + hx podemos cancelar este x com este xy nós temos isso aqui Essa seria a inclinação dessa linha, a linha secante, mas como dissemos ao princípio, o problema do derivado é motivado pelo problema de encontrar uma linha tangente para qualquer curva, não uma secante reta. Um secante reto é fácil de encontrar realmente, porque um secante direto sempre cortado em dois pontos, sabendo as coordenadas dos 2 pontos podemos encontrar a inclinação e para em sua equação. Mas se é sobre uma linha tangente, uma linha tangente lembre-se que é a linha que passa por um basta apontar e, em seguida, para encontrar o equação dessa reta nos faria outro ponto está faltando, se quiséssemos fazê-lo através desta fórmula. No entanto, aqui o gênio de Newton e depois de Leibniz, foi imaginar que este segundo ponto, que nós desenhamos aqui, podemos abordar o primeiro ponto, tanto quanto nós queremos, podemos movê-lo e ir mais perto pouco a pouco, e vamos ver o que acontece à medida que nos aproximamos de nossa distância h que separa os dois x coordenadas está sendo feito toda vez menor e menor, como podemos ver, mais e mais pequenos toda vez, chega um momento em que pontos são tão próximos que parece que esta linha já é a linha tangente, já é indistinguível disso gráfico em um presente nesta proximidade de aqui, no entanto, permanece ainda um certo espaço, um certo diferença, para perceber que você tem que fazer muito zoom no gráfico, e nós podemos veja que aqui é nossa linha, e aqui está a nossa função. Seguir tendo uma certa diferença, não importa quão perto chegamos de um ponto a outro, vai ter sempre um certo diferença, mas quando esses dois pontos completamente igual, a diferença já será removida e exatamente neste Apontar a linha vai passar, exatamente, isto é, a linha será um linha tangente, porque só vai jogar o gráfico em um único ponto e não em dois. Então, para encontrar a inclinação da linha que é tangente a um gráfico, precisamos do h, que a distância que separa os dois x coordenadas, está aqui, está feito pequeno, tão pequeno, que seja anulado completamente, que não existe mais, que zero, que representamos através do linguagem limite, se nessa expressão tomarmos o limite quando h tende a zero, em calcular esse limite nós vamos ter o inclinação da linha tangente para este gráfico e que é precisamente o derivado O derivado é isso, em vez de colocar o m nós colocamos isso símbolo que representava derivado, que é colocar uma citação para o f isso é derivado de f e é simplesmente pegue o limite quando h tende a zero desta expressão, se você gostou do video não se esqueça de dar like, comment Qualquer dúvida ou sugestão que você tenha Todos os comentários são bem vindos e se inscreva no meu canal se você quiser receber mais vídeos como este.
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Caraguatatuba:
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