Borough of Manhattan Community College - Olá e seja bem vindo a mais um vídeo da Matefacil! Neste vídeo vamos ver o que é uma equação diferencial Vou explicar de uma maneira simples, com vários exemplos e vou mostrar vários tipos de equações diferenciais É importante que saibamos o que é uma equação diferencial Para distingui-lo de outros tipos de equações, como as que você provavelmente já viu até agora: Equações algébricas, equações trigonométricas Equações logarítmicas, etc. No caso de uma equação diferencial Algo um pouco diferente acontece com as outras equações, e é nesse caso nós não estaremos mais procurando números que eles satisfazem uma equação, mas funções completas Tudo isso vou explicar a seguir Para começar, podemos dizer que uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função suas, derivadas e suas variáveis É importante aqui rever o que são esses conceitos Nós então temos três conceitos que são importantes para uma equação diferencial que são: a equação da função, a derivada e a variável. Uma função, como você provavelmente já viu antes, nós a representamos como f (x), que é um representação muito usual, embora muitos vezes em vez de colocar f (x) nós a representamos como "e", porque é mais confortável simplesmente escreva "e" e entenda que depende da variável x Nesse sentido, o "e" é uma função. Usando essas notações, nós representamos a derivada de uma função como f '(x) ou como y' isto é, se estamos usando "e" para representar a função. Podemos também representar a derivada como dy / dx. Isso também representa a derivada de a função "y" em relação à variável "x" Podemos também considerar a segunda derivada, por exemplo, neste caso e '' Podemos também ter terceiro derivado e '' ' E, em geral, qualquer tipo de derivado. Todos esses derivados podem aparecer em um equação diferencial, em todos estes casos nossa variável tem sido o mesmo a variável é x, embora não tenha o que é sempre assim Em muitas ocasiões, em vez de usar x, vamos usar a variável "t" Em minúsculas, para representar o tempo, ou pode ser qualquer outra variável Em caso de possível confusão, deve ficar claro qual é a variável que estamos usando Por exemplo, podemos falar sobre a função f (t), neste caso estamos dizendo que a variável é "t". Se vamos usar a letra "y" para representar a função, neste caso, para evitar confusão, está escrito assim: é colocado e (t) para indicar que a variável é "t" e não "x" como no caso que vimos acima. Aqui nós poderíamos ter colocado como e (x). Muitas vezes vai superestimar pela forma da própria equação, qual é a variável de função Mas quando você não entende o que é a variável, é importante indique entre parênteses. E para representar a derivada neste caso nós poderíamos escrever assim dy / dt. Nós também poderíamos escrevê-lo como y ' Mas entendendo que o derivado está sendo feito em relação ao variável t, e neste caso então nossa variável é "t" Agora que entendemos todos esses conceitos, podemos dizer que uma equação diferencial é uma equação que se relaciona com esses três conceitos. Por exemplo, isso aqui é uma equação diferencial porque aparece uma função que é f (x), aparece também sua derivada aparece aqui a função e a variável aparece aqui. Então você está se relacionando com o função com a derivada e com o variável, esta é uma equação diferencial Quero esclarecer que, geralmente, em equações diferenciais nós não estaremos usando a notação f (x) para se referir à função mas vamos simplesmente usar o "e", porque é mais confortável fazendo assim, embora nós também poderíamos usar f (x) E neste caso, a vantagem seria que sempre estamos indicando qual é a variável da função, mas é mais usual usar "e" em vez de f (x) Neste caso, usando "e" para representar a função A equação diferencial fica assim, dy / dx porque aqui temos a derivada do função, e neste caso é representado Embora pudéssemos também colocá-lo como y ' e é o mesmo. E aqui para a função f (x) nós simplesmente colocamos o "y" então esta equação é a mesma que a equação aqui acima. Outro exemplo de equação diferencial é é aqui, neste caso, notamos que a segunda derivada de "e" também aparece nós temos a variável x multiplicado pela segunda derivada de "e" menos cinco vezes a primeira derivada de "y" mais 3. Neste caso, não aparece como tal, a função em si "e" Observe que ele não precisa aparecer explicitamente aqui escrito, mas implicitamente existe uma função lá, já que deve satisfazer esta equação, então não Por que o "e" sempre aparece em a equação diferencial, os derivados só podem aparecer. E o mesmo vale para o x, não precisa o que aparecer na equação explicitamente, por exemplo, neste equação aqui. Esta equação tem apenas a primeira derivada, a segunda derivada e a terceira derivada de "e", não aparece nem o "y" nem o "x" mas é uma equação diferencial, neste caso temos uma função aqui que é "e", e neste caso um pouca confusão, porque não sabemos se a variável que vamos usar para o "e" é o xo é o "t" Normalmente, quando eles não nos dizem qual é a variável, usaremos o "x" Ou podemos usar o "t" sem qualquer problema, nós apenas deixamos você indicar que estamos tomando "e" como função de x ou como uma função de "t" Esta definição que vimos aqui, não é estritamente a definição matemática que geralmente é dado em livros, há uma definição rigorosa e definição é esta daqui: Uma equação diferencial é uma expressão deste tipo. Esta expressão que significa, simplesmente, é que temos uma função das variáveis x, y, y '', Então, até chegar ao enésimo derivado de "e", essa expressão você só tem que entender isso como você está combinando tudo essas funções e todas essas variáveis, através de operações, como a soma e subtração, multiplicação, divisão, ou mesmo usando outras funções, como eles podem ser seios, cossenos exponenciais, logaritmos, etc. Isto é, estamos simplesmente dizendo que uma equação diferencial é um expressão em que nós combinamos tudo esses símbolos, usando diferentes operações, como por exemplo aqui, onde estamos multiplicando por 2 e, em seguida, adicionando, ou aqui multiplicando o x com o e '', e então subtraindo o 5 por y ', etc É assim que esta expressão deve ser interpretada aqui, é simplesmente uma combinação destes símbolos Esta é, então, a definição formal de uma equação diferencial. Agora temos que ver o que isso significa resolva uma equação diferencial, porque como mencionei no começo, Não é o mesmo que resolver um equação algébrica. Quando temos uma equação algébrica, o que estamos procurando é limpar o mistério, que geralmente é "x" e obtém um valor ou valores que satisfazem a equação, isto é, um número real, tal que quando é substituído na equação, uma igualdade é alcançada. No caso de uma equação diferencial, já nós não estamos procurando por números, mas neste caso estamos encontrando funções, uma função ou funções, muitas vezes encontramos mais de um função que satisfaz a igualdade é isso que significa resolver um equação diferencial, vou mostrar Agora com um pequeno exemplo. Por exemplo, esta equação diferencial aqui é uma equação diferencial bastante simples uma das primeiras equações que eles estudam em um curso. Aqui diz y'-2x = 0 Estamos à procura de uma função "e" que depende da variável "x", tal que quando derivamos essa função e subtraímos 2x, isso não importa para zero Então estamos procurando uma função entre um conjunto infinito de funções, ou seja, temos um monte de funções que poderíamos tentar ver se eles satisfazem a equação. Por exemplo, y = e ^ x é uma função possível, ou y = 4-7x, ou igual a raiz quadrada de x ao quadrado -9, etc, todos estes são funções, mas é claro que nem todos funções vão satisfazer este equação neste caso, esta equação satisfaz esta função: "y" igual ao machado quadrado. Se dermos essa função você obtém y '= 2x e ao substituir no equação com a qual começamos, nós nós consertamos isso aqui e 'vai seja 2x, depois 2x menos 2x, e isso efetivamente nos dá como resultado zero, isto é, chegamos a uma igualdade, portanto a função y = x ^ 2 sim é uma solução desta equação diferencial. Agora, por exemplo, a função y = x ^ 2 + 5 também é uma solução desta equação diferencial, porque se derivarmos essa função a derivada de x ^ 2 é 2x, e a derivada de 5 é zero Então a derivada é simplesmente outra uma vez, 2x, e para substituir novamente nos resta 2x menos 2x igual a zero. Isso quer dizer que x square +5 é uma solução e o 5 aqui não é nada especial, pode ser qualquer outra constante também pode ser x ^ 2 + 1 ou x ^ 2 + 7, ou em geral y = x ^ 2 + C, onde C é uma constante vai ser uma solução desta equação diferencial. Como vemos, há uma infinidade de funções que satisfazem a equação diferencial Você obtém uma função para cada valor que você dá à constante C. Por exemplo, se dermos a você valor 5, porque temos essa função, se dermos o valor zero, temos esse função, então temos uma infinidade de funções que satisfazem a equação Neste caso, dizemos que esta é a solução geral da equação diferencial, porque estamos expressando em uma única expressão todas as funções possíveis que satisfazem esta equação. Então, para isso, chamamos isso de solução geral Às vezes estamos interessados em apenas um de todos os funções possíveis que satisfaçam equação e, nesse caso, temos que dizer que condição que função. Por exemplo, podemos receber o Próximo problema: resolver o problema equação diferencial y'-2x = 0 onde também a função deve preencher aquele "y" avaliado em zero, vale 1 Isso aqui é chamado de condição inicial que deve satisfazer a função, neste caso, para este tipo de problemas é chamado de problema de valor inicial Ou o problema de Cauchy. Para resolver um problema de Cauchy, o que faremos é encontrar a solução geral primeiro, como fizemos acima, y = x ^ 2 + C e depois ver que valor devemos dar para a constante C, para que satisfaça esta condição inicial. E depois veremos métodos com os quais vamos encontrar tanto a solução geral de uma equação diferencial como o valor da constante. Aqui por exemplo, neste caso poderíamos nos perguntar se a solução y = x ^ 2 é uma solução deste problema. Nós já sabemos que y = x ^ 2 sim satisfaz o equação diferencial, então nós precisaríamos apenas ver se y = x ^ 2 satisfaz a condição inicial. Para isso, teríamos para ver se "y" avaliado em zero é igual a 1 para esta função Neste caso, "y" avaliado em zero significa substituir o zero no x a partir daqui, temos 0 ao quadrado Mas 0 ao quadrado é zero isto é, obtemos que y (0) = 0 A condição inicial que queremos não é cumprida Bem, nós queremos que y (0) seja igual a 1 e ficamos e (0) = 0 Portanto, a função y = x ^ 2 não resolve o problema de valor inicial que temos aqui A função que resolve esse problema é este daqui, y = x ^ 2 + 1 aqui, por exemplo, podemos verificar isso e (0) = 1 Para ver isso, nós simplesmente teríamos que substituir o zero no x então nós temos 0 ao quadrado mais 1 0 ^ 2 = 0, 0 + 1 = 1, então nós permanece que y (0) é efetivamente igual a 1, portanto Esta é a função que satisfaz o problema do valor inicial ou problema de Cauchy. E agora vamos ver alguns tipos de equações diferenciais que são muito importantes. Primeiro de tudo, nós temos uma equação diferencial ordinário, que vamos abreviar como EDO. Uma equação de esse tipo, é uma equação diferencial de funções com uma variável. Todos os exemplos que temos visto até este momento, são equações diferenciais ordinário. por exemplo, essa equação que nós apenas para ver, é uma equação diferencial comum, porque uma função de uma única variável, que neste caso o variável da função é o x. Isso aqui também é uma equação diferencial ordinário, o segundo aparece derivado de "e" e aparece aqui o próprio "y" e a variável x Neste caso, vamos entender que "e" é uma função que depende apenas de "x" Nós também podemos ter uma equação diferencial Outras letras para representar as duas funções e as variáveis, neste caso nossa função seria o P porque aqui estamos calculando o derivado de P em relação a "t" então esta mesma expressão é o que nos diz o que vamos entender como funciona e o que vamos entender como variável No caso desta expressão, o carta que aparece aqui é o função que está sendo derivada, eo carta que aparece abaixo é a variável com respeito ao que está sendo derivado, então aqui nós entendemos que P é um função que depende de t, portanto, é também uma equação diferencial ordinário, porque é um função variável única. Nós também podemos ter sistemas de equações diferenciais ordinárias, Neste caso, seria algo semelhante a sistemas de equações que olham para álgebra elementar, é simplesmente um conjunto de equações que devem ser resolvidas em mesmo tempo, é um conjunto de equações diferenciais de funções de uma variável, porque eles também são equações diferenciais ordinárias Portanto, neste caso, nos é dado um conjunto de equações, e nós temos que encontrar um conjunto de funções que eles satisfazem esse conjunto de equações em mesmo tempo, por exemplo, esses dois aqui equações. Nós vamos entender essas equações primeiro como um sistema, isto é, o equações estão resolvendo ao mesmo tempo, e se não é muito claro que você é Equações pertencem ao mesmo sistema Muitas vezes esse símbolo é usado uma chave como esta daqui, para indicam que o duas equações simultaneamente, em Neste caso, as funções vão entender como "x", "e", como vemos aqui são aqueles que carregam o derivado, para o derivado apenas do funções, portanto, tanto o xe o "e" aqui são funções, enquanto o t é a variável dessas funções, podemos também indicar que escrevendo desta forma, x (t) e (t). Resolva um sistema de equações Diferenciais significa encontrar dois funções x (t), e (t), de tal forma que substituindo ambos na primeira equação e na segunda equação o igualdade Este tipo de sistemas veremos mais adiante. Outras equações que são muito importantes, são estas daqui Equações em derivadas parciais. Nos exemplos que vimos anteriormente vimos que todas as funções dependia de uma única variável, que poderia ser o x ou poderia ser o t. Neste caso, as equações derivadas parcial são aqueles que formamos com funções de diversas variáveis, uma função de várias variáveis do nós representamos desta maneira, por exemplo esta função aqui, a função é a u, e entre parênteses estamos indicando suas variáveis que são "x", "t", então é uma função de dois variáveis que são xyt, e que neste caso a função é x quadrado mais 2t aqui é importante que não possamos mais falar como tal da derivada do função quando se trata de uma função de várias variáveis, do que podemos speak são derivadas parciais. Por exemplo, a derivada parcial de u em relação a x, que neste caso seria 2x, e a derivada parcial de u em relação a t que neste caso seria dois. Um equação em derivadas parciais é um expressão em que eles são relacionando a função, a variáveis e as derivadas parciais de a função em relação a alguns dos variáveis Por exemplo, esta equação aqui Aqui estamos dizendo: o derivado parcial de u em relação à variável t deve ser igual a ac pelo segundo derivado de u em relação à variável x Essa mesma equação também poderíamos escrever dessa maneira, que é muitas vezes mais confortável, em lugar para indicar derivada parcial de u Em relação a t, nós colocamos como u com o subscrito t, e em vez de indicar o segunda derivada parcial de u respeito de x, nós colocamos isso como vc com subscrito xx. Este tipo de notação e esse tipo de derivadas parciais são coisas que eles aprendem em um curso de cálculo vetorial É possível que alguns de vocês não tenham visto todos esses conceitos, mas aqui o importante nada mais é para enfatizar que existem também esse tipo de equações que são equações nas quais a função depende de mais de uma variável, aquelas equações veremos mais adiante. E para resolvê-los, precisaremos conhecer as equações primeiro diferenciais ordinários, as equações Eu mostrei a você um momento atrás. Até este ponto, é possível que você estão pedindo e tudo isso realmente o que será para nós, porque eles servem equações diferenciais Isso eu vou explicar no próximo vídeo, vou mostrar algumas das aplicações e vamos começar a resolver alguns problemas depois Então eu convido você a olhar para o próximo vídeo. 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Araxá:
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